SOLUCION MATEMATICA A LA GUERRA DE LOS SEXOS

Introducción a la teoría de juegos

La guerra de los sexos

      

juegos sin repetición juegos sin transferencia de utilidad resultado subóptimo juego simétrico juego asimétrico punto de silla solución estable maximín dominación

El juego de "La guerra de los sexos" es un ejemplo muy sencillo de utilización de modelos de la teoría de juegos para analizar un problema frecuente en la vida cotidiana.

Hay dos jugadores: "ÉL" y "ELLA". Cada uno de ellos puede elegir entre dos posibles estrategias a las que llamaremos "Fútbol" y "Discoteca".

Supongamos que el orden de preferencias de ÉL es el siguiente:
1º (lo más preferido) ÉL y ELLA eligen Fútbol.2º ÉL y ELLA eligen Discoteca.
3º ÉL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.
4º (lo menos preferido) Él elige Discoteca y ELLA elige Fútbol.
Supongamos que el orden de preferencias de ELLA es el siguiente:
1º (lo más preferido) ÉL y ELLA eligen Discoteca.2º ÉL y ELLA eligen Fútbol.
3º ÉL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.
4º (lo menos preferido) Él elige Discoteca y ELLA elige Fútbol.
La matriz de pagos es como sigue:

		ELLA
		Fútbol	Discoteca
ÉL	Fútbol	1 \ 2	3 \ 3*
	Discoteca	4 \ 4	2 \ 1
Los pagos representan el orden de preferencias. En verde y a la izquierda de la barra, los pagos a ÉL. En violeta y a la derecha de la barra los pagos a ELLA.

Este juego, tal como lo hemos descrito, es un juego sin repetición y sin transferencia de utilidad. Sin repetición significa que sólo se juega una vez por lo que no es posible tomar decisiones en función de la elección que haya hecho el otro jugador en juegos anteriores. Sin transferencia de utilidad significa que no hay comunicación previa por lo que no es posible ponerse de acuerdo, negociar ni acordar pagos secundarios ("Si vienes al fútbol te pago la entrada").

El problema que se plantea es simplemente un problema de coordinación. Se trata de coincidir en la elección. Al no haber comunicación previa, es posible que el resultado no sea óptimo.  Si cada uno de  los jugadores elige su estrategia maximín el pago que recibirán (3\3) es subóptimo. Esa solución, marcada en la  matriz con un asterisco, no es un punto de equilibrio de Nash ya que los jugadores están tentados de cambiar su elección: cuando ELLA llegue a la discoteca y observe que ÉL se ha ido al fútbol, sentirá el deseo de cambiar de estrategia para obtener un pago mayor.

 El modelo que hemos visto es un juego simétrico ya que jugadores o estrategias son intercambiables sin que los resultados varíen. Podemos introducir una interesante modificación en el juego convirtiéndolo en asimétrico a la vez que nos aproximamos más al mundo real. Supongamos que las posiciones 2ª y 3ª en el orden de preferencias de ÉL se invierten. ËL prefiere ir solo al Fútbol más que ir con ELLA a la Discoteca. La matriz de pagos queda como sigue:

		ELLA
		Fútbol	Discoteca
ÉL	Fútbol	1 \ 2*	2 \ 3
	Discoteca	4 \ 4	3 \ 1

Si ELLA conoce la matriz de pagos, es decir, las preferencias de ÉL, el problema de coordinación desaparece. Está muy claro que ÉL elegirá siembre la estrategia Fútbol, sea cual sea la elección de ELLA. Sabiendo esto ELLA elegirá siempre la estrategia Fútbol también, ya que prefiere estar con ÉL aunque sea en el Fútbol que estar sola aunque sea en la Discoteca. La estrategia maximín de ambos jugadores coincide. El resultado, marcado con un asterisco, es un óptimo, un punto de silla, una solución estable, un punto de equilibrio de Nash. Obsérvese que esta solución conduce a una situación estable de dominación social del jugador que podríamos calificar como el más egoísta.